سیستم های شاخه زایی (Bifurcation Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های شاخه زایی (Bifurcation Systems) :
شاخه زایی (bifurcation) به تغییرات کیفی در رفتار یک سیستم دینامیکی در اثر تغییر آرام یک پارامتر گفته می شود. یک سیستم شاخه زایی، سیستمی است که برای مقادیر مختلف یک پارامتر، رفتارهای متفاوتی از خود نشان می دهد و در نقاط بحرانی (مقادیر پارامتر) دستخوش تغییرات ساختاری می شود. این تغییرات می توانند شامل تغییر در تعداد یا پایداری نقاط تعادل، ظهور یا ناپدید شدن مدارهای تناوبی، و گذار به آشوب باشند.
شاخه زایی ها به دو دسته کلی محلی (local) و سراسری (global) تقسیم می شوند. شاخه زایی های محلی در همسایگی نقاط تعادل یا مدارهای تناوبی رخ می دهند و با خطی سازی قابل تحلیل هستند. انواع مهم آن عبارتند از: شاخه زایی زینی-گرهی (saddle-node)، شاخه زایی ترابحرانی (transcritical)، شاخه زایی چنگالی (pitchfork) و شاخه زایی هاپف (Hopf). شاخه زایی های سراسری شامل پدیده هایی مانند اتصالات هوموکلینیک (homoclinic) و هتروکلینیک (heteroclinic) هستند که منجر به ایجاد یا نابودی چرخه های حدی می شوند.
نگاشت لجستیک (Logistic map) نمونه ای کلاسیک از شاخه زایی دوره دوبرابری (period-doubling bifurcation) است. با افزایش پارامتر
\[ r \]، نقاط ثابت ناپایدار شده و یک چرخه ۲-تناوبی ظاهر می شود. این فرایند تا رسیدن به آشوب ادامه می یابد. ثابت فایگنباوم (Feigenbaum constant) که در این مسیر جهانی است، یکی از مهم ترین کشفیات در نظریه شاخه زایی بود.
تحلیل شاخه زایی ها برای درک رفتار سیستم های غیرخطی در مهندسی (پایداری سازه ها، مدارها)، زیست شناسی (شاخه زایی در جمعیت ها) و فیزیک (گذار فاز) حیاتی است. دیاگرام شاخه زایی (bifurcation diagram) یک ابزار ترسیمی برای نمایش این تغییرات است.
