سیستم های لجستیک (Logistic Map Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های لجستیک (Logistic Map Systems) :
نگاشت لجستیک (Logistic map) ساده ترین و در عین حال عمیق ترین مثال از یک سیستم دینامیکی گسسته با رفتار آشوبناک است. این نگاشت توسط پیر فرانسوا ورهولست (Verhulst) برای مدل سازی رشد جمعیت معرفی شد و سپس توسط رابرت می (Robert May) در دهه ۱۹۷۰ به طور گسترده در زمینه آشوب مورد مطالعه قرار گرفت. معادله آن به صورت زیر است:
\[ x_{n+1} = r x_n (1 - x_n) \]در این معادله،
\[ x_n \]جمعیت نرمال شده (بین ۰ و ۱) در نسل
\[ n \]است و
\[ r \]نرخ رشد (پارامتر) نامیده می شود. با تغییر
\[ r \]از ۰ تا ۴، سیستم رفتارهای مختلفی از خود نشان می دهد:
برای
\[ r < 1 \]، جمعیت به سمت صفر می رود (انقراض). برای
\[ 1 < r < 3 \]، جمعیت به یک نقطه ثابت پایدار (
\[ x^* = 1 - 1/r \]) همگرا می شود. در
\[ r=3 \]، شاخه زایی دوره دوبرابری (period-doubling bifurcation) رخ می دهد و نوسانات ۲-تناوبی ظاهر می شود. با افزایش
\[ r \]، دوره ها دوبرابر می شوند (۴، ۸، ۱۶، ...) تا به نقطه تجمع (accumulation point) در
\[ r \approx 3.5699 \]می رسیم. پس از آن، برای بسیاری از مقادیر
\[ r \](مثلا
\[ r=3.9 \]یا
\[ 4 \])، رفتار کاملا آشوبناک (غیرقابل پیش بینی) می شود. در
\[ r=4 \]، نگاشت بر روی کل بازه
\[ [0,1] \]آشوبناک است و با یک شیفت برنولی هم ریخت (isomorphic) می باشد.
نگاشت لجستیک یک سیستم نمونه برای مطالعه مسیر به سوی آشوب از طریق شاخه زایی دوره دوبرابری است. ثابت فایگنباوم (Feigenbaum constant)
\[ \delta \approx 4.669 \]که برای این نگاشت محاسبه شد، یک عدد جهانی است و در بسیاری از سیستم های دیگر که چنین مسیری به آشوب دارند، دیده می شود. این کشف اهمیت زیادی در نظریه آشوب داشت.
