سیستم های وندرپل (Van der Pol Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های وندرپل (Van der Pol Systems) :
سیستم وندرپل (Van der Pol oscillator) توسط بالتازار وان در پل (Balthasar van der Pol) در دهه ۱۹۲۰ هنگام مطالعه مدارهای الکترونیکی با لامپ خلأ معرفی شد. این سیستم یک نوسانگر غیرخطی با میرایی غیرخطی است که معادله آن به صورت زیر است:
\[ \ddot{x} - \mu (1 - x^2) \dot{x} + x = 0 \]که در آن
\[ \mu > 0 \]یک پارامتر است. جمله
\[ -\mu (1 - x^2) \dot{x} \]نشان دهنده میرایی غیرخطی است: برای دامنه های کوچک (
\[ |x|<1 \]) این جمله مثبت (میرایی منفی) است و انرژی به سیستم تزریق می کند، و برای دامنه های بزرگ (
\[ |x|>1 \]) میرایی مثبت است و انرژی می گیرد. این مکانیسم باعث می شود سیستم به یک نوسان پایدار با دامنه ثابت، یعنی یک چرخه حدی (limit cycle)، برسد.
با افزایش
\[ \mu \]، شکل چرخه حدی از یک نوسان سینوسی به نوسان آرامش (relaxation oscillation) با تغییرات سریع و آهسته تبدیل می شود. سیستم وندرپل در حضور نیروی محرک خارجی می تواند رفتارهای آشوبناک نیز از خود نشان دهد. این سیستم در زیست شناسی (پتانسیل عمل در نورون ها)، قلب شناسی (مدل سازی ضربان قلب)، و مهندسی برق (نوسان سازها) کاربرد دارد.
تحلیل آن شامل یافتن چرخه حدی، پایداری آن (با استفاده از تابع لیاپانوف یا روش میانگین گیری)، و مطالعه شاخه زایی ها است.
