سیستم های دافینگ (Duffing Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های دافینگ (Duffing Systems) :
سیستم دافینگ (Duffing oscillator) یک نوسانگر غیرخطی است که توسط جرج دافینگ (Georg Duffing) در اوایل قرن بیستم معرفی شد. این سیستم یک مدل ساده برای توصیف نوسانات یک تیر فولادی تحت نیروی مغناطیسی و همچنین بسیاری از پدیده های فیزیکی دیگر است. معادله استاندارد آن به صورت زیر است:
\[ \ddot{x} + \delta \dot{x} + \alpha x + \beta x^3 = \gamma \cos(\omega t) \]در این معادله،
\[ \ddot{x} \]شتاب،
\[ \dot{x} \]سرعت،
\[ \delta \]ضریب میرایی،
\[ \alpha \]ضریب سختی خطی،
\[ \beta \]ضریب سختی غیرخطی (می تواند مثبت یا منفی باشد)،
\[ \gamma \]دامنه نیروی محرک و
\[ \omega \]فرکانس نیرو است.
سیستم دافینگ بسته به پارامترها رفتارهای بسیار متنوعی از خود نشان می دهد: نوسانات تناوبی، نوسانات شبه تناوبی، و آشوب. این سیستم یکی از اولین نمونه هایی بود که در آن تشدید غیرخطی و پدیده پرش (jump phenomenon) مشاهده شد. در حالت بدون میرایی و بدون نیرو (
\[ \delta=\gamma=0 \])، سیستم همیلتونی است و انرژی پایسته است. با افزودن میرایی و نیرو، سیستم می تواند جاذب های عجیب آشوبناک ایجاد کند.
معادله دافینگ در مهندسی مکانیک (ارتعاشات غیرخطی)، الکترونیک (مدارهای غیرخطی)، زیست شناسی (شنوایی)، و حتی در مطالعه امواج اقیانوس کاربرد دارد. تحلیل آن با استفاده از روش های عددی (نگاشت پوانکاره) و روش های تحلیلی (میانگین گیری) انجام می شود.
