سیستم های لورنتس (Lorenz Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های لورنتس (Lorenz Systems) :
سیستم لورنتس (Lorenz system) یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی سه بعدی است که توسط ادوارد لورنتس در سال ۱۹۶۳ به عنوان یک مدل ساده شده برای همرفت سیالات (جوی) ارائه شد. معادلات آن به صورت زیر است:
\[ \begin{cases} \dot{x} = \sigma (y - x) \\ \dot{y} = x (\rho - z) - y \\ \dot{z} = xy - \beta z \end{cases} \]در این معادلات،
\[ \sigma \](عدد پرانتل)،
\[ \rho \](عدد ریلی) و
\[ \beta \](نسبت ابعاد) پارامترهای مثبت هستند. لورنتس با انتخاب
\[ \sigma=10 \]،
\[ \beta=8/3 \]و
\[ \rho=28 \]مشاهده کرد که مسیرها به یک جاذب عجیب (strange attractor) با شکلی شبیه بال های پروانه همگرا می شوند. این سیستم اولین نمونه از آشوب قطعی در یک سیستم با بعد کم بود.
ویژگی های سیستم لورنتس: (۱) اتلافی است (
\[ \nabla \cdot F = -(\sigma+1+\beta) < 0 \]) بنابراین حجم فضای فاز منقبض می شود. (۲) دارای دو نقطه تعادل (برای
\[ \rho>1 \]) به جز مبدأ است که با افزایش
\[ \rho \]، ناپایدار می شوند. (۳) جاذب آن دارای بعد فرکتالی حدود ۲.۰۶ است. (۴) سیستم دارای حساسیت به شرایط اولیه است (نمای لیاپانوف مثبت).
سیستم لورنتس به یک سیستم نمونه برای مطالعه آشوب تبدیل شده است و تعمیم های آن در زمینه های مختلف از جمله لیزر، دینامیک سیالات، و حتی مدل های اقتصادی به کار می رود.
