سیستم های نقطه ای-منظم (Pointwise Recurrent Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های نقطه ای-منظم (Pointwise Recurrent Systems) :
یک سیستم دینامیکی توپولوژیک
\[ (X, T) \]نقطه ای-منظم (pointwise recurrent) نامیده می شود اگر هر نقطه
\[ x \in X \]یک نقطه بازگشتی (recurrent) باشد. نقطه بازگشتی نقطه ای است که به طور مکرر به هر همسایگی خود بازمی گردد؛ یعنی برای هر همسایگی
\[ U \]از
\[ x \]، اعداد طبیعی
\[ n \](با هر اندازه بزرگ) وجود دارند به طوری که
\[ T^n(x) \in U \]. به عبارت دیگر، مدار هر نقطه به خودش نزدیک می شود.
این مفهوم تعمیم نقاط تناوبی است. در سیستم های نقطه ای-منظم، ممکن است نقاط تناوبی نباشند اما همچنان بازگشت دارند. برای مثال، چرخش با زاویه اصم روی دایره نقطه ای-منظم است (در واقع هر نقطه یک مدار چگال دارد). سیستم های مینیمال (minimal) همیشه نقطه ای-منظم هستند، زیرا در آن ها هر نقطه دارای مدار چگال است و بنابراین بازگشتی است.
مطالعه سیستم های نقطه ای-منظم به درک عمیق تری از بازگشت و ساختار مجانبی مسیرها کمک می کند. این سیستم ها در نظریه ارگودیک (جایی که قضیه بازگشت پوانکاره تضمین می کند نقاط با احتمال مثبت بازگشتی هستند) و در دینامیک توپولوژیک اهمیت دارند.
