سیستم های حفظکننده اندازه (Measure-Preserving Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های حفظکننده اندازه (Measure-Preserving Systems) :
در نظریه ارگودیک (ergodic theory)، یک سیستم دینامیکی حفظکننده اندازه (measure-preserving) سیستمی است که یک اندازه (معیار)
\[ \mu \]روی فضای حالت
\[ X \]وجود داشته باشد که تحت دینامیک ناوردا (invariant) بماند. یعنی برای هر مجموعه قابل اندازه گیری
\[ A \]، داشته باشیم
\[ \mu(f^{-1}(A)) = \mu(A) \](در زمان گسسته) یا
\[ \mu(\phi_t^{-1}(A)) = \mu(A) \](در زمان پیوسته). این اندازه معمولا یک اندازه احتمال (probability measure) است.
این خاصیت بیان می کند که اگر توزیع اولیه نقاط در فضای فاز با
\[ \mu \]داده شود، این توزیع در طول زمان تغییر نمی کند. این مفهوم پایه ای برای مطالعه خواص آماری سیستم هاست. برای سیستم های همیلتونی، اندازه لیوویل (حجم فاز) یک اندازه ناورداست.
مطالعه سیستم های حفظکننده اندازه منجر به قضایای مهمی مانند قضیه بازگشت پوانکاره (Poincaré recurrence) می شود: در یک سیستم با اندازه ناوردای متناهی، تقریبا همه نقاط بارها و بارها به هر همسایگی از خود بازمی گردند. همچنین قضیه ارگودیک فون نویمان و بیرک هف (Birkhoff) میانگین های زمانی را به میانگین های فضایی (انتگرال روی فضا) مرتبط می کنند.
سیستم های ارگودیک (ergodic) زیرمجموعه ای از این سیستم ها هستند که در آن ها تنها مجموعه های ناوردا اندازه صفر یا یک دارند. این به معنای آن است که سیستم قابل تجزیه به بخش های کوچکتر نیست و میانگین های زمانی برای تابع های خوش رفتار به یک مقدار ثابت (میانگین فضایی) همگرا می شوند.
