شیفت برنولی (Bernoulli Shift)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
شیفت برنولی (Bernoulli Shift) :
شیفت برنولی (Bernoulli shift) یک مورد خاص و بسیار مهم از سیستم های شیفت است. در این سیستم، الفبا معمولا
\[ \{0,1\} \](یا هر مجموعه متناهی) است و تمام دنباله های ممکن (بدون هیچ محدودیتی) مجاز هستند. بنابراین فضای حالت، مجموعه
\[ \{0,1\}^{\mathbb{Z}} \](یا
\[ \{0,1\}^{\mathbb{N}} \]) با توپولوژی حاصلضرب است.
این سیستم به دلیل ارتباط با پرتاب سکه (Bernoulli process) نامگذاری شده است. اگر به هر نماد احتمالی نسبت دهیم (مثلا احتمال
\[ p \]برای ۱ و
\[ 1-p \]برای ۰)، آن گاه یک سیستم پایستار با اندازه (measure) حاصلضرب به دست می آید که ارگودیک و حتی اختلاط (mixing) است.
آنتروپی (entropy) شیفت برنولی برابر با
\[ \log k \]است (برای الفبای با
\[ k \]نماد) که حداکثر ممکن برای یک سیستم شیفت است. این سیستم به عنوان یک بلوک سازنده برای بسیاری از سیستم های آشوبناک (مانند نعل اسبی اسمال) عمل می کند. نکته جالب این است که شیفت برنولی با الفبای ۲ و پارامتر
\[ p=1/2 \]با سیستم دینامیکی حاصل از نگاشت چادر (tent map) یا نگاشت لجستیک در پارامترهای خاص، هم ریخت (isomorphic) است.
تحلیل این سیستم با استفاده از نظریه ارگودیک، نظریه اطلاعات و آنالیز فوریه (به دلیل ساختار گروهی) انجام می شود. شیفت برنولی یک نمونه عالی از آشوب قطعی (deterministic chaos) است.
