سیستم های خطی (Linear Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های خطی (Linear Systems) :
سیستم های خطی ساده ترین و در عین حال مهم ترین دسته سیستم های دینامیکی هستند. در زمان پیوسته، یک سیستم خطی به صورت
\[ \dot{x} = A x \](خودگردان) یا
\[ \dot{x} = A(t)x \](ناخودگردان) نوشته می شود. در زمان گسسته،
\[ x_{n+1} = A x_n \]. ماتریس
\[ A \](ممکن است به زمان وابسته باشد) رفتار سیستم را تعیین می کند.
تحلیل این سیستم ها کاملا با استفاده از جبر خطی انجام می شود. برای سیستم های خودگردان، جواب به صورت
\[ x(t) = e^{At} x_0 \]است. پایداری با مقادیر ویژه (eigenvalues) ماتریس
\[ A \]تعیین می شود: اگر همه مقادیر ویژه دارای بخش حقیقی منفی باشند، سیستم پایدار است. برای سیستم های گسسته، شرط پایداری قدر مطلق مقادیر ویژه کمتر از یک است.
فضای فاز یک سیستم خطی خودگردان به زیرفضاهای پایدار، ناپایدار و مرکزی (مرتبط با مقادیر ویژه با بخش حقیقی منفی، مثبت و صفر) تجزیه می شود. این تجزیه مبنای قضیه منیفلد پایدار (stable manifold theorem) برای سیستم های غیرخطی است.
سیستم های خطی همچنین در نظریه کنترل (کنترل پذیری، رویت پذیری) و پردازش سیگنال (فیلترها) کاربرد فراوان دارند. بسیاری از سیستم های غیرخطی در همسایگی نقاط تعادل با خطی سازی (approximation) تحلیل می شوند.
