سیستم های گرادیان (Gradient Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های گرادیان (Gradient Systems) :
یک سیستم گرادیان بر روی یک خمینه (معمولا ریمانی) توسط یک تابع پتانسیل
\[ V \](تابع لیاپانوف) و یک متر (ساختار اندازه گیری فاصله) تعریف می شود. معادله حرکت به صورت
\[ \dot{x} = -\nabla V(x) \]است، یعنی بردار سرعت در خلاف جهت شیب تابع
\[ V \]قرار دارد. این سیستم ها مهمترین نمونه سیستم های اتلافی (dissipative) هستند که در آن انرژی (مقدار
\[ V \]) در طول مسیرها کاهش می یابد.
ویژگی اساسی: مشتق
\[ V \]در طول مسیر برابر است با
\[ - \|\nabla V\|^2 \le 0 \]، بنابراین
\[ V \]یک تابع لیاپانوف (Lyapunov function) است. نقاط تعادل سیستم نقاط بحرانی
\[ V \]هستند (جایی که
\[ \nabla V = 0 \]). پایداری این نقاط به نوع نقطه بحرانی (مینیمم محلی، ماکزیمم، زینی) بستگی دارد. نقاط مینیمم محلی جاذب (پایدار) و بقیه ناپایدار هستند.
\[ \frac{d}{dt} V(x(t)) = \nabla V \cdot \dot{x} = - \|\nabla V\|^2 \le 0 \]سیستم های گرادیان نمی توانند نوسانات پایدار (مدارهای تناوبی) داشته باشند، زیرا در طول یک مدار بسته،
\[ V \]باید کاهش یابد و این غیرممکن است. بنابراین رفتار بلندمدت فقط شامل همگرایی به نقاط تعادل است (تحت شرایط مناسب).
این سیستم ها در بهینه سازی (روش گرادیان کاهشی)، شبکه های عصبی (مدل های همگرا به جواب)، و فیزیک (حرکت در میدان پتانسیل با اصطکاک بالا) کاربرد گسترده دارند. همچنین در مطالعه شاخه زایی و دینامیک جمعیت (مدل های رقابتی خاص) ظاهر می شوند.
تعمیم این سیستم ها به حالت های با قید یا روی خمینه ها (گرادیان ریمانی) نیز رایج است. تحلیل پایداری سراسری با استفاده از توابع لیاپانوف انجام می شود.
