سیستم های سمپلکتیک (Symplectic Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های سمپلکتیک (Symplectic Systems) :
سیستم های سمپلکتیک تعمیم طبیعی سیستم های همیلتونی هستند و در قلب هندسه سمپلکتیک قرار دارند. یک منیفلد سمپلکتیک
\[ (M, \omega) \]یک خمینه زوج بعدی به همراه یک فرم دیفرانسیلی بسته و غیرتافته به نام فرم سمپلکتیک
\[ \omega \]است. سیستم های دینامیکی که این ساختار را حفظ می کنند، سیستم های سمپلکتیک نامیده می شوند. در مختصات محلی
\[ (q_1,\dots,q_n,p_1,\dots,p_n) \]، فرم سمپلکتیک استاندارد به صورت
\[ \omega = \sum dq_i \wedge dp_i \]نوشته می شود.
یک دیفئومورفیسم
\[ f: M \to M \]سمپلکتیک است اگر
\[ f^*\omega = \omega \]، یعنی فرم سمپلکتیک را پَس کِش (pullback) کند. چنین نگاشت هایی را سمپلکتومورفیسم (symplectomorphism) می نامند. برای جریان های همیلتونی (زمان پیوسته)، شرط سمپلکتیک بودن به معنای پایستاری فرم سمپلکتیک در طول جریان است که مستقیما از معادلات همیلتون ناشی می شود.
خاصیت سمپلکتیک بودن پیامدهای مهمی دارد: پایستگی حجم فضای فاز (چون
\[ \omega^n \]یک فرم حجم است) و قضیه لیوویل (Liouville) که می گوید یک جریان همیلتونی، اندازه فاز را حفظ می کند. همچنین این ساختار مبنای نظریه کوانتش هندسی (geometric quantization) است.
در زمان گسسته، نگاشت های سمپلکتیک نقش اساسی در انتگرال گیرهای سمپلکتیک (symplectic integrators) دارند که برای شبیه سازی بلندمدت سیستم های همیلتونی به کار می روند و از اتلاف یا افزایش مصنوعی انرژی جلوگیری می کنند. یک مثال ساده، نگاشت استاندارد (چیریکوف) است که اگرچه خود یک سمپلکتومورفیسم نیست، اما تعمیم هایی از آن با خاصیت سمپلکتیک وجود دارد.
تحلیل این سیستم ها از ابزارهای هندسه دیفرانسیل، توپولوژی سمپلکتیک (مانند نظریه فلور (Floer theory)) و روش های تغییراتی استفاده می کند. مسئله وجود مدارهای تناوبی در سیستم های سمپلکتیک با استفاده از نظریه نقطه ثابت و قضایایی مانند آرنولد (Arnold conjecture) بررسی می شود.
