سیستم های دیفرومورفیسم (Diffeomorphism Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های دیفرومورفیسم (Diffeomorphism Systems) :
در زمان گسسته، یک سیستم دینامیکی توسط یک نگاشت
\[ f: M \to M \]تعریف می شود که در آن
\[ M \]یک خمینه است. اگر این نگاشت یک دیفئومورفیسم (diffeomorphism) باشد، یعنی هم چون
\[ f \]دوسویی، هموار (smooth) و دارای وارون هموار است، آن گاه سیستم را یک سیستم دیفئومورفیسم می نامیم. این سیستم ها معادل زمان گسسته سیستم های همیلتونی (یا به طور کلی سیستم های برگشت پذیر) هستند.
دیفئومورفیسم ها ساختار هموار خمینه را حفظ می کنند و بنابراین ابزارهای هندسه دیفرانسیل برای تحلیل آن ها قابل استفاده است. مطالعه این سیستم ها بخش مهمی از نظریه دینامیک توپولوژیک و هذلولوی را تشکیل می دهد. مفاهیمی مانند نقاط تناوبی (نقاطی که
\[ f^k(x)=x \]برای برخی
\[ k \])، مجموعه های حدی، و پایداری ساختاری (structural stability) برای دیفئومورفیسم ها تعریف می شوند.
یک مثال معروف، دیفئومورفیسم آنوسوف (Anosov diffeomorphism) روی چنبره
\[ \mathbb{T}^2 \]است که با ماتریس
\[ A \in SL(2,\mathbb{Z}) \]با مقادیر ویژه با قدر مطلق غیر یک تعریف می شود:
\[ f(x,y) = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mod 1 \]این سیستم رفتار هذلولوی (hyperbolic) دارد: در هر نقطه، فضای مماس به دو زیرفضای پایدار و ناپایدار تجزیه می شود. این خاصیت باعث می شود که سیستم دارای خواص ارگودیک قوی (مانند اختلاط) و حساسیت به شرایط اولیه باشد.
تحلیل دیفئومورفیسم ها شامل مطالعه نقاط هموکلینیک و هتروکلینیک (محل برخورد منیفلدهای پایدار و ناپایدار)، شاخه زایی ها، و نظریه کادکاف (Katok's theory) است. این سیستم ها در مکانیک همیلتونی گسسته (مانند نگاشت استاندارد) و همچنین در دینامیک نمادین ظاهر می شوند.
شبیه سازی عددی دیفئومورفیسم ها ساده تر از سیستم های پیوسته است (چون گام زمانی ثابت است)، اما تحلیل پایداری بلندمدت نیازمند دقت در محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای متناظر است.
