سیستم های لاگرانژی (Lagrangian Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های لاگرانژی (Lagrangian Systems) :
سیستم های لاگرانژی یک فرمول بندی جایگزین اما معادل با سیستم های همیلتونی برای مکانیک کلاسیک ارائه می دهند. در این چارچوب، دینامیک یک سیستم با استفاده از تابع لاگرانژ
\[ L(q, \dot{q}, t) \](که معمولا تفاضل انرژی جنبشی و پتانسیل است) روی فضای پیکربندی (با مختصات
\[ q \]و سرعت های تعمیم یافته
\[ \dot{q} \]) توصیف می شود. معادلات حرکت از اصل کمترین اثر (همیلتونی) استخراج می شوند:
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \]این معادلات که به معادلات اویلر-لاگرانژ معروفند، برای سیستم های با قیود هولونومیک (holonomic) نیز قابل تعمیم هستند. مزیت اصلی فرمول بندی لاگرانژی این است که بر اساس کمیت های اسکالر (لاگرانژ) بنا شده و نسبت به تغییر مختصات ناوردا (invariant) است، بنابراین برای سیستم های با قیود پیچیده بسیار مناسب است.
برای سیستم های پایستار (بدون اتلاف)، لاگرانژ به طور صریح به زمان وابسته نیست و همیلتونی (انرژی) پایسته است. رابطه بین لاگرانژ و همیلتونی از طریق تبدیل لژاندر (Legendre transform) برقرار می شود:
\[ H(p,q,t) = \sum p_i \dot{q}_i - L \]که در آن
\[ p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i \]تکانه های تعمیم یافته هستند.
سیستم های لاگرانژی در مکانیک اجسام صلب، رباتیک (دینامیک بازوها)، نظریه میدان (نسبیت عام، نظریه پیمانه ای)، و حتی در اقتصاد (مدل های بهینه سازی پویا) کاربرد دارند. تحلیل پایداری با استفاده از تابع لاگرانژ و روش لیاپانوف (در صورت مثبت معین بودن انرژی) انجام می شود.
یکی از مزایای بزرگ این فرمول بندی، سهولت در اعمال قیود با استفاده از ضریب های لاگرانژ است. همچنین، تقارن های سیستم از طریق قضیه نوتر (Noether) به بقای کمیت ها منجر می شوند (مثلا بقای انرژی از تقارن انتقال زمانی).
