سیستم های همیلتونی (Hamiltonian Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های همیلتونی (Hamiltonian Systems) :
سیستم های همیلتونی قلب مکانیک کلاسیک و یکی از زیباترین و عمیق ترین شاخه های دینامیک هستند. در این سیستم ها، دینامیک توسط یک تابع اسکالر به نام همیلتونی
\[ H(q,p,t) \](که معمولا نمایانگر انرژی کل سیستم است) روی فضای فاز (با مختصات مکان
\[ q \]و تکانه
\[ p \]) تعریف می شود. معادلات حرکت به شکل زیر هستند:
\[ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \]این معادلات دارای ویژگی های شگفت انگیزی هستند: اولا، همیلتونی
\[ H \]در طول زمان برای سیستم های خودگردان (مستقل از زمان) پایسته است (پایستگی انرژی). ثانیا، جریان فاز، ساختار سمپلکتیک (symplectic)
\[ dq \wedge dp \]را حفظ می کند (قضیه لیوویل). این خاصیت باعث می شود که حجم فضای فاز پایسته بماند و سیستم نتواند جاذب (attractor) داشته باشد.
سیستم های همیلتونی طیف وسیعی از پدیده ها را پوشش می دهند: از نوسانگر ساده تا حرکت سیارات (مسئله n-جسم) و دینامیک ذرات در شتاب دهنده ها. قضیه KAM (کلموگروف-آرنولد-موزر) بیان می کند که تحت اغتشاش کوچک یک سیستم همیلتونی انتگرال پذیر، بسیاری از چنبره های ناوردا باقی می مانند و رفتار سیستم منظم است، اما با افزایش اغتشاش، این چنبره ها شکسته شده و حرکت آشوبناک ظاهر می شود.
ابزارهای تحلیلی برای سیستم های همیلتونی شامل متغیرهای کنش-زاویه (action-angle) برای سیستم های انتگرال پذیر، نظریه اغتشاش، و روش های هندسی است. انتگرال گیرهای سمپلکتیک (symplectic integrators) برای شبیه سازی عددی بلندمدت این سیستم ها ضروری هستند، زیرا روش های معمولی باعث اتلاف یا افزایش مصنوعی انرژی می شوند.
سیستم های همیلتونی همچنین در اپتیک (مسیر پرتوها)، مکانیک کوانتومی (در حد کلاسیکی)، و دینامیک سیالات (معادلات وورتیسیته) کاربرد دارند. مطالعه این سیستم ها یکی از فعال ترین زمینه های پژوهشی در ریاضیات و فیزیک است.
