سیستم های دینامیکی روی شبکه (Lattice Dynamical Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های دینامیکی روی شبکه (Lattice Dynamical Systems) :
این سیستم ها مشابه سیستم های روی گراف هستند، اما با این تفاوت که شبکه (lattice) یک گراف با ساختار منظم (مانند شبکه های مربعی، مکعبی یا مثلثی) است. معمولا گره ها روی یک شبکه
\[ \mathbb{Z}^d \](یا زیرمجموعه ای از آن) قرار دارند و دینامیک به همسایگان نزدیک وابسته است. این سیستم ها به عنوان گسسته سازی مکانی معادلات دیفرانسیل جزئی (مانند معادله گرما) یا به عنوان مدل های مستقل در فیزیک آماری ظاهر می شوند.
مثال معروف، نگاشت با جفت شدن (coupled map lattices) است که در آن هر گره یک نگاشت غیرخطی (مانند لجستیک) دارد و با میانگین گیری از همسایگان جفت می شود:
\[ x_{n+1}^{(i)} = (1-\epsilon) f(x_n^{(i)}) + \frac{\epsilon}{2} \left( f(x_n^{(i-1)}) + f(x_n^{(i+1)}) \right) \]این سیستم ها می توانند رفتارهای فضایی-زمانی پیچیده ای از جمله الگوهای ایستا، امواج سالیتونی، و آشوب گسترده (spatiotemporal chaos) نشان دهند.
تحلیل این سیستم ها شامل بررسی پایداری حالت های همگن، تشکیل الگو (pattern formation)، و انتقال فاز در شبکه است. روش های تحلیلی مانند آنالیز فوریه (به دلیل ساختار شبکه ای) و نظریه میانگین گیری به کار می روند. همچنین شبیه سازی عددی به دلیل تعداد زیاد گره ها می تواند پرهزینه باشد، اما ساختار منظم امکان استفاده از روش های سریع (مانند FFT) را فراهم می کند.
کاربردها در دینامیک جمعیت های توزیع شده فضایی، مدل های اپیدمی با ساختار مکانی، پردازش تصویر (به عنوان فیلترهای غیرخطی)، و شبکه های عصبی مصنوعی (با اتصالات موضعی) گسترده است.
