سیستم های دینامیکی روی کره (Dynamical Systems on Sphere)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های دینامیکی روی کره (Dynamical Systems on Sphere) :
کره
\[ S^n \]یکی دیگر از خمینه های مهم با انحنای مثبت است. سیستم های دینامیکی روی کره در زمینه های مختلفی مانند دینامیک سیالات (جریان های جوی و اقیانوسی روی کره زمین)، ژئوفیزیک، و مکانیک (حرکت یک نقطه روی کره) ظاهر می شوند. همچنین در مسائل کنترل و رباتیک، وضعیت یک جسم صلب گاهی روی کره
\[ S^2 \](جهت گیری) مدل می شود.
یک مثال کلاسیک، حرکت یک ذره روی کره تحت تأثیر پتانسیل (مثل آونگ کروی) است. معادلات حرکت یک سیستم همیلتونی با دو درجه آزادی ایجاد می کنند که فضای فاز آن
\[ TS^2 \](فضای مماس بر کره) است. همچنین، میدان های برداری روی کره در نظریه پایداری سیالات (مانند معادله اویلر برای جریان غیرقابل تراکم روی کره) مطالعه می شوند.
\[ \ddot{\theta} - \sin\theta \cos\theta \dot{\phi}^2 + \frac{g}{R} \sin\theta = 0 \]یکی از ویژگی های توپولوژیک جالب، قضیه گلوله مودار (hairy ball theorem) است: روی کره
\[ S^2 \]، هر میدان برداری پیوسته حداقل یک نقطه صفر دارد. این به این معنی است که هیچ میدان بادی پیوسته و بدون نقطه سکون روی کره وجود ندارد. این قضیه پیامدهایی برای دینامیک دارد: هر سیستم دینامیکی پیوسته روی کره باید حداقل یک نقطه تعادل داشته باشد.
سیستم های گسسته روی کره نیز مطالعه می شوند، مانند تکرار نگاشت های کروی که در گرافیک کامپیوتری و مدل سازی ظاهر می شوند. همچنین، دینامیک جمعیت ها روی کره (مدل های توزیع جغرافیایی) نمونه دیگری است.
تحلیل این سیستم ها نیازمند مختصات مناسب (مختصات کروی) و دقت در برخورد با نقاط تکین (قطب ها) است. روش های عددی باید پایستگی قیود (مثلا قرار داشتن روی کره) را حفظ کنند.
