سیستم های دینامیکی روی توری (Dynamical Systems on Torus)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های دینامیکی روی توری (Dynamical Systems on Torus) :
چنبره (torus) که با نماد
\[ \mathbb{T}^n \]نشان داده می شود، حاصلضرب
\[ n \]دایره
\[ S^1 \]است. این فضا یک خمینه فشرده و بدون مرز است. سیستم های دینامیکی روی توری نقش مهمی در فیزیک (نوسانگرهای جفت شده)، زیست شناسی (شبکه های عصبی با نوسان)، و ریاضیات (سیستم های یکنواخت) دارند. ساده ترین نمونه، جریان خطی روی چنبره
\[ \mathbb{T}^2 \]است که با معادله
\[ \dot{\theta}_1 = \omega_1, \dot{\theta}_2 = \omega_2 \]توصیف می شود.
اگر نسبت
\[ \omega_1 / \omega_2 \]گویا باشد، همه مدارها تناوبی هستند و روی چنبره می پیچند. اگر این نسبت کسری گویا نباشد (اصم)، هر مدار چگال (dense) روی چنبره خواهد بود. این پدیده به حرکت شبه تناوبی (quasiperiodic) معروف است و اولین گام به سوی رفتارهای پیچیده تر (مانند آشوب) محسوب می شود.
\[ \begin{cases} \dot{\theta}_1 = \omega_1 \\ \dot{\theta}_2 = \omega_2 \end{cases} \quad , \quad (\theta_1,\theta_2) \in \mathbb{T}^2 \]نگاشت های روی چنبره نیز بسیار مطالعه شده اند. نگاشت استاندارد (standard map) یا چیریکوف (Chirikov) یک نگاشت گسسته روی
\[ \mathbb{T}^2 \]است که گذار از رفتار منظم به آشوب را نشان می دهد. این نگاشت در فیزیک شتاب دهنده ها و سیستم های همیلتونی کاربرد دارد.
چنبره همچنین به عنوان فضای فاز برای سیستم های یکنواخت با
\[ n \]فرکانس ظاهر می شود. قضیه کلموگروف-آرنولد-موزر (KAM) بیان می کند که تحت اغتشاش کوچک یک سیستم همیلتونی، بسیاری از چنبره های ناوردا باقی می مانند (با تغییر شکل). این یکی از عمیق ترین نتایج در دینامیک کلاسیک است.
تحلیل این سیستم ها با استفاده از آنالیز فوریه (به دلیل ساختار گروهی چنبره) و روش های میانگین گیری (averaging) انجام می شود. پایداری حرکت شبه تناوبی و شرایط از بین رفتن چنبره ها (معیارهای آشوب) از مباحث پیشرفته است.
