سیستم های دینامیکی با بعد متناهی (Finite-Dimensional Dynamical Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های دینامیکی با بعد متناهی (Finite-Dimensional Dynamical Systems) :
این دسته بزرگترین و کلاسیک ترین نوع سیستم های دینامیکی است. در این سیستم ها، فضای حالت (phase space) یک خمینه با بعد متناهی (مانند
\[ \mathbb{R}^n \]یا یک خمینه فشرده) است. وضعیت سیستم در هر لحظه با تعداد متناهی متغیر (مختصات) توصیف می شود. اکثر سیستم های حاصل از معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) یا نگاشت های گسسته (maps) در این دسته قرار می گیرند.
بعد متناهی به معنای سادگی نسبی در تحلیل ریاضی است. ابزارهایی مانند آنالیز روی خمینه ها، نظریه پایداری لیاپانوف، شاخه زایی، و نظریه ارگودیک برای این سیستم ها به خوبی توسعه یافته اند. مفاهیمی مانند نقاط تعادل، مدارهای تناوبی، چهره های پایدار و ناپایدار، و جاذب ها (attractors) تعریف و طبقه بندی شده اند.
یک سیستم با بعد متناهی می تواند رفتار بسیار پیچیده ای حتی با بعد پایین (مثلا ۳) داشته باشد. مثال مشهور، سیستم لورنتس با سه معادله است که جاذب عجیب (strange attractor) با بعد کسری (فرکتال) ایجاد می کند. این نشان می دهد که بعد متناهی لزوما به معنای سادگی نیست.
از دیدگاه نظریه ارگودیک، وجود اندازه های ناوردا (invariant measures) و خواص آماری مسیرها (مانند ارگودیسیتی و اختلاط) برای سیستم های با بعد متناهی مطالعه می شود. قضیه بازگشت پوانکاره (Poincaré recurrence) برای سیستم های پایستار با حجم فاز متناهی برقرار است.
بسیاری از مسائل کاربردی در مهندسی و فیزیک با سیستم های با بعد متناهی مدل می شوند: نوسانگرهای مکانیکی، مدارهای الکتریکی، دینامیک جمعیت (چند گونه)، واکنش های شیمیایی (چند ماده)، ربات ها، و غیره. تقریبا هرگاه با دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی مواجه باشیم، با یک سیستم با بعد متناهی سر و کار داریم.
تحلیل عددی این سیستم ها (شبیه سازی) به نسبت ساده تر از سیستم های با بعد نامتناهی است، زیرا نیازی به گسسته سازی فضا (مشابه PDEها) نیست. با این حال، برای سیستم های آشوبناک، خطاهای عددی می توانند به سرعت رشد کنند و نیاز به روش های دقیق و پایدار دارند.
