سیستم های معادلات دیفرانسیل تصادفی با تأخیر (Stochastic Delay Differential Equation Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های معادلات دیفرانسیل تصادفی با تأخیر (Stochastic Delay Differential Equation Systems) :
این نوع سیستم ها ترکیبی از معادلات دیفرانسیل با تأخیر (DDE) و معادلات دیفرانسیل تصادفی (SDE) هستند. یعنی علاوه بر نویز تصادفی، تأخیر زمانی نیز در دینامیک وجود دارد. این مدل ها برای سیستم هایی مناسبند که هم تأخیر انتقال یا واکنش دارند و هم تحت تأثیر نوسانات تصادفی محیطی قرار می گیرند. فرم کلی:
\[ dX_t = f(X_t, X_{t-\tau}) dt + g(X_t, X_{t-\tau}) dW_t \]در این معادله،
\[ X_t \]فرآیند تصادفی،
\[ f \]جمله رانش،
\[ g \]جمله پخش (ممکن است به مقادیر تأخیری نیز وابسته باشد)، و
\[ W_t \]فرآیند وینر است.
وجود تأخیر و نویز به طور همزمان، تحلیل را بسیار پیچیده تر از SDEها یا DDEها به تنهایی می کند. فضای حالت، یک فضای تابعی از توابع تصادفی روی بازه تأخیر است. مفهوم جواب، یک فرآیند تصادفی است که در هر زمان
\[ t \]، تابعی از تاریخچه تصادفی تا آن زمان است.
کاربردهای مهم: در مدل سازی زیستی (مثلا رشد سلولی با تأخیر تقسیم و نویز محیطی)، علوم مالی (مدل سازی نرخ بهره با تأخیر در اطلاعات و نوسانات تصادفی)، کنترل فرآیندهای صنعتی با تأخیر حمل ونقل و نویز سنسور. همچنین در نوروساینس برای مدل سازی شبکه های عصبی با تأخیر سیناپسی و نویز یونی.
پایداری تصادفی (stochastic stability) برای این سیستم ها با استفاده از توابع لیاپانوف تصادفی و نامساوی های مرتبط تحلیل می شود. مفاهیمی مانند پایداری نمایی تقریبا مطمئن (almost sure exponential stability) یا پایداری در میانگین مربع (mean-square stability) به کار می روند.
حل عددی این معادلات بسیار پرهزینه است، زیرا باید هم تاریخچه سیستم ذخیره شود و هم مسیرهای تصادفی شبیه سازی گردند. روش های گام برداری تصادفی با درونیابی تاریخچه توسعه داده شده اند. همگرایی این روش ها نیاز به تحلیل دقیق دارد.
