سیستم های معادلات دیفرانسیل تابعی (Functional Differential Equation Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های معادلات دیفرانسیل تابعی (Functional Differential Equation Systems) :
معادلات دیفرانسیل تابعی (FDE) دسته گسترده ای هستند که در آن ها مشتق تابع مجهول در یک نقطه به مقادیر تابع در سایر نقاط (و نه فقط همان نقطه) بستگی دارد. این دسته شامل معادلات با تأخیر (DDE)، معادلات پیش رو (advanced)، و معادلات از نوع خنثی (neutral) می شود. شکل کلی:
\[ \dot{x}(t) = f(t, x_t) \]که در آن
\[ x_t(\theta) = x(t+\theta) \]برای
\[ \theta \in [-r,0] \]نشان دهنده تاریخچه تابع بر بازه تأخیر است. بنابراین فضای حالت، یک فضای تابعی (معمولا
\[ C([-r,0],\mathbb{R}^n) \]) است و سیستم بعد نامتناهی دارد.
در معادلات از نوع خنثی (neutral)، مشتق تابع مجهول هم به مقادیر گذشته تابع و هم به مشتق آن در گذشته بستگی دارد:
\[ \dot{x}(t) = f(t, x_t, \dot{x}_t) \]. این نوع معادلات در مسائل انتقال با بازتاب (مانند خطوط انتقال بدون اتلاف) و مدل های اقتصادی با انتظارات ظاهر می شوند.
تحلیل این سیستم ها با استفاده از نظریه نیم گروه ها روی فضاهای تابعی انجام می شود. معادله مشخصه برای پایداری خطی، یک معادله با جمله
\[ e^{-\lambda r} \]است که بینهایت ریشه دارد. بنابراین سیستم های تابعی می توانند نوسانات پیچیده و حتی آشوب از خود نشان دهند.
یک مثال مشهور، معادله چرخه های حدی در نورولوژی (مدل مکی-گلس) است که قبلا ذکر شد. این معادله با تغییر پارامترها، دنباله ای از شاخه زایی های دوره دوبرابری تا آشوب را نشان می دهد.
شرایط اولیه در FDEها یک تابع (نه یک نقطه) است. به همین دلیل، فضای حالت بسیار بزرگتر از ODEهاست. این ویژگی باعث می شود که حتی سیستم های خطی با تأخیر بتوانند نوسانات میرا با فرکانس های مختلف داشته باشند.
کاربردها: کنترل فرآیندهای شیمیایی با زمان های انتقال، مدل های فیزیولوژیکی (مثلا تنظیم قند خون)، دینامیک جمعیت با مراحل رشد (لارو، بالغ)، و اقتصاد (تأخیر در تصمیم گیری ها).
