سیستم های معادلات دیفرانسیل کسری (Fractional Differential Equation Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های معادلات دیفرانسیل کسری (Fractional Differential Equation Systems) :
حسابان کسری (fractional calculus) تعمیم مشتق گیری و انتگرال گیری به مرتبه های غیرصحیح (کسری) است. معادلات دیفرانسیل کسری (FDE) شامل مشتقات مرتبه کسری نسبت به زمان یا مکان هستند. این ابزار در دهه های اخیر توجه زیادی جلب کرده است، زیرا بسیاری از سیستم های فیزیکی، زیستی و مهندسی رفتارهایی با حافظه بلندمدت یا خواص فرکتالی نشان می دهند که با مشتقات کسری به خوبی مدل می شوند.
چندین تعریف برای مشتق کسری وجود دارد که مشهورترین آن ها مشتق کاپوتو (Caputo) و مشتق ریمان-لیوویل (Riemann-Liouville) است. مشتق کاپوتو به شکل زیر تعریف می شود (برای
\[ 0<\alpha<1 \]):
\[ D^\alpha_t f(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_0^t (t-\tau)^{-\alpha} f'(\tau) d\tau \]مزیت مشتق کاپوتو این است که شرایط اولیه به شکل مشتقات مرتبه صحیح (که قابل تفسیر فیزیکی هستند) ظاهر می شوند. یک معادله دیفرانسیل کسری معمولی به فرم
\[ D^\alpha_t x(t) = f(t,x(t)) \]نوشته می شود.
خواص این معادلات با ODEها متفاوت است. برای مثال، جواب معادله کسری خطی
\[ D^\alpha x = \lambda x \]به صورت تابع میتاگ-لوفلر (Mittag-Leffler) است که تعمیم تابع نمایی محسوب می شود:
\[ x(t) = x_0 E_\alpha(\lambda t^\alpha) \]. این توابع در ابتدا رفتار نمایی و در انتها رفتار توانی (کندتر) دارند.
کاربردهای FDEها در ویسکوالاستیسیته (مدل سازی مواد با حافظه)، انتشار ناهنجار (anomalous diffusion) در محیط های متخلخل، کنترل کسری، بیولوژی (مدل سازی رشد تومور)، و اقتصاد (مدل های با حافظه بلندمدت) گسترده است. در انتشار ناهنجار، معادله دیفرانسیل جزئی کسری مانند
\[ \partial^\beta_t u = -\kappa (-\Delta)^{\alpha/2} u \]ظاهر می شود.
تحلیل پایداری FDEها با استفاده از تعمیم روش لیاپانوف (با توابع لیاپانوف کسری) و بررسی ناحیه پایداری در صفحه مختلط (با توجه به تابع میتاگ-لوفر) انجام می شود. قضایای وجود و یکتایی نیز تحت شرایط لیپشیتز تعمیم یافته برقرار هستند.
حل عددی FDEها به دلیل ماهیت غیرمحلی (non-local) مشتقات کسری، پرهزینه است. روش های مبتنی بر تفاضلات محدود با حافظه طولانی (که تمام تاریخچه را در نظر می گیرند) و روش های تبدیل لاپلاس عددی به کار می روند. همچنین روش های اجزاء محدود برای معادلات جزئی کسری توسعه یافته اند.
