سیستم های معادلات انتگرال-دیفرانسیل (Integro-Differential Equation Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های معادلات انتگرال-دیفرانسیل (Integro-Differential Equation Systems) :
این نوع معادلات ترکیبی از معادلات دیفرانسیل و انتگرال هستند. یعنی شامل مشتقات تابع مجهول و همچنین انتگرال هایی از آن می باشند. شکل کلی یک معادله انتگرال-دیفرانسیل (IDE) به صورت زیر است:
\[ \frac{du}{dt} = f(t, u(t)) + \int_0^t K(t, s, u(s)) \, ds \]IDEها در مدل سازی پدیده هایی ظاهر می شوند که در آن ها نرخ تغییرات یک کمیت به تاریخچه (memory) آن کمیت نیز وابسته باشد. به این معنا، IDEها تعمیمی از معادلات دیفرانسیل با تأخیر هستند اما با تأخیری به شکل میانگین گیری روی کل گذشته.
یکی از مهم ترین کاربردهای IDEها در نظریه ویسکوالاستیسیته (viscoelasticity) است. در مواد ویسکوالاستیک، تنش به نرخ کرنش و تاریخچه کرنش بستگی دارد. معادله حرکت چنین موادی اغلب به صورت یک IDE ظاهر می شود. مثال دیگر در دینامیک جمعیت با اثرات گذشته نگر (مانند مدل های اپیدمی با دوره نهفتگی توزیع یافته) است.
معادله زیر یک IDE خطی ساده را نشان می دهد که در آن یک جمله انتگرالی به معادله دیفرانسیل اضافه شده است:
\[ u'(t) = a u(t) + b \int_0^t e^{-\lambda (t-s)} u(s) \, ds \]این نوع معادلات را می توان با ترفندهایی (مانند معرفی متغیرهای جدید) گاهی به یک دستگاه ODE تبدیل کرد. در این مثال خاص، با تعریف
\[ v(t)=\int_0^t e^{-\lambda(t-s)}u(s)ds \]و مشتق گیری، به یک دستگاه دو معادله ODE می رسیم.
تحلیل وجود و یکتایی جواب برای IDEها مشابه ODEها است اما به دلیل جمله انتگرالی، اغلب از قضیه نقطه ثابت در فضاهای تابعی مناسب استفاده می شود. پایداری نیز با روش های لیاپانوف یا خطی سازی و بررسی معادله مشخصه (که شامل تبدیل لاپلاس هسته است) انجام می شود.
IDEها همچنین در نظریه کنترل با فیدبک تأخیری (که در آن کنترلر از تاریخچه خطا استفاده می کند) و در نورودینامیک (مدل های شبکه عصبی با حافظه) کاربرد گسترده دارند. حل عددی IDEها معمولا با ترکیب روش های گام برداری زمانی و روش های انتگرال گیری عددی (مانند کوادراتور) انجام می شود.
