سیستم های معادلات انتگرال (Integral Equation Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های معادلات انتگرال (Integral Equation Systems) :
معادلات انتگرال نوع دیگری از معادلات هستند که در آن ها تابع مجهول در زیر علامت انتگرال ظاهر می شود. این معادلات در بسیاری از شاخه های فیزیک و مهندسی، از جمله مکانیک محیط های پیوسته، الکترومغناطیس، و مسائل مقدار مرزی ظاهر می شوند. یک معادله انتگرال خطی عمومی به شکل زیر است:
\[ u(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x, t) u(t) \, dt \]که در آن
\[ K(x,t) \]هسته (kernel) معادله نامیده می شود. اگر تابع مجهول فقط در داخل انتگرال ظاهر شود، معادله از نوع فردهولم (Fredholm) نوع اول یا دوم است. اگر حد بالای انتگرال متغیر باشد (مثلا
\[ x \])، معادله از نوع ولترا (Volterra) خواهد بود که با مسائل مقدار اولیه مرتبط است.
ارتباط نزدیکی بین معادلات دیفرانسیل و انتگرال وجود دارد. بسیاری از معادلات دیفرانسیل را می توان با انتگرال گیری به معادلات انتگرال تبدیل کرد. برای مثال، مسئله مقدار اولیه
\[ \dot{x}=f(x,t) \]با شرط
\[ x(0)=x_0 \]معادل معادله انتگرال ولترا
\[ x(t)=x_0+\int_0^t f(x(s),s)ds \]است. این فرمول بندی پایه ای برای اثبات قضایای وجود و یکتایی (مانند پیکارد) است.
معادلات انتگرال همچنین در مسائل مقدار مرزی برای معادلات دیفرانسیل جزئی ظاهر می شوند. برای مثال، معادله لاپلاس در یک ناحیه را می توان با استفاده از پتانسیل لایه (layer potentials) به یک معادله انتگرال روی مرز تبدیل کرد. این روش، اساس روش های عددی مانند روش عناصر مرزی (BEM) است.
دسته بندی معادلات انتگرال بر اساس هسته: اگر هسته
\[ K(x,t) \]یک تابع پیوسته باشد، معادله از نوع منظم (regular) است. اگر هسته دارای تکینگی انتگرال پذیر باشد، معادله از نوع تکین (singular) است. معادلات با هسته کوشی (Cauchy kernel) از نوع معادلات انتگرال تکین هستند که در مکانیک شکست و آیرودینامیک کاربرد دارند.
حل تحلیلی معادلات انتگرال در موارد خاصی مانند هسته های تفکیک پذیر (degenerate kernels) امکان پذیر است. در حالت کلی، از روش های عددی مانند روش های مبتنی بر تقریب انتگرال با کوادراتور (quadrature) یا تبدیل به دستگاه معادلات خطی استفاده می شود.
معادلات انتگرال غیرخطی نیز وجود دارند، مانند معادله هامرشتاین (Hammerstein) که به صورت
\[ u(x)=f(x)+\int K(x,t)F(t,u(t))dt \]نوشته می شود. این معادلات در نظریه کنترل و زیست شناسی ریاضی کاربرد دارند.
یکی از مزایای فرمول بندی مسائل به صورت معادله انتگرال، کاهش بعد مسئله است (انتقال از ناحیه به مرز) و همچنین امکان استفاده از خواص منظم کنندگی (regularizing) انتگرال گیری.
