سیستم های معادلات دیفرانسیل تصادفی (Stochastic Differential Equation Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های معادلات دیفرانسیل تصادفی (Stochastic Differential Equation Systems) :
در بسیاری از پدیده های طبیعی و مهندسی، نادیده گرفتن اثر نوسانات تصادفی و نویز امکان پذیر نیست. برای مدل سازی اینگونه سیستم ها از معادلات دیفرانسیل تصادفی (SDE) استفاده می شود. در این معادلات، یک جمله تصادفی (نویز) به معادله دیفرانسیل معمولی اضافه می گردد که معمولا بر اساس فرآیند وینر (فرآیند حرکت براونی) مدل سازی می شود. شکل کلی یک SDE به صورت زیر است:
\[ dX_t = a(X_t, t) dt + b(X_t, t) dW_t \]در این رابطه،
\[ X_t \]متغیر حالت،
\[ a \]ضریب رانش (drift)،
\[ b \]ضریب پخش (diffusion) و
\[ W_t \]یک فرآیند وینر استاندارد (حرکت براونی) است. جمله
\[ dW_t \]نویز سفید گاوسی را نشان می دهد. برخلاف معادلات قطعی، جواب SDE یک تابع قطعی نیست، بلکه یک فرآیند تصادفی است. یعنی برای هر پیشامد تصادفی، یک مسیر متفاوت به دست می آید.
SDEها ابزاری قدرتمند در فیزیک (حرکت براونی ذرات)، مالی (مدل بلک-شولز برای قیمت سهام)، زیست شناسی (دینامیک جمعیت با نوسانات محیطی)، و کنترل (سیستم های تحت نویز) هستند. برای مثال، مدل قیمت سهام در مالی (مدل بلک-شولز) به صورت زیر است:
\[ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t \]که در آن
\[ S_t \]قیمت سهام،
\[ \mu \]نرخ بازده مورد انتظار و
\[ \sigma \]نوسان پذیری (volatility) است.
تحلیل SDEها نیازمند ابزارهای خاصی مانند حساب ایتو (Itô calculus) یا حساب استراتونوویچ (Stratonovich) است. قاعده زنجیری در حساب ایتو با فرمول معروف ایتو اصلاح می شود. برای تابعی مانند
\[ f(X_t) \]، داریم:
\[ df(X_t) = \left( f'(X_t)a_t + \frac{1}{2} f''(X_t) b_t^2 \right) dt + f'(X_t) b_t dW_t \]وجود جمله
\[ \frac{1}{2}f'' b^2 \]ناشی از تغییرپذیری درجه دوم غیرصفر فرآیند وینر است. این فرمول در حل تحلیلی SDEها و همچنین در مشتقات مالی (معادله بلک-شولز) کاربرد دارد.
یکی از مهم ترین مفاهیم در SDEها، پایداری تصادفی (stochastic stability) است. برخلاف حالت قطعی، یک نقطه تعادل ممکن است تحت تأثیر نویز ناپایدار شود یا برعکس، نویز می تواند سیستم را پایدار کند (پدیده تثبیت تصادفی). همچنین گذار فازهای القاء شده با نویز (noise-induced transitions) از موضوعات جذاب است.
حل عددی SDEها معمولا با روش هایی مانند روش اویلر-مارویاما (Euler-Maruyama) یا روش میل اشتاین (Milstein) انجام می شود. این روش ها مشابه روش های عددی ODE هستند اما با در نظر گرفتن جمله تصادفی و مرتبه همگرایی متفاوت. شبیه سازی مسیرهای نمونه (sample paths) امکان تحلیل آماری سیستم را فراهم می کند.
SDEها همچنین پایه ای برای معادلات دیفرانسیل جزئی تصادفی (SPDE) هستند که در آن نویز در فضا و زمان پخش می شود. کاربردهای SPDE در فیزیک آماری، پردازش تصویر، و مدل سازی سیستم های زیستی گسترده است.
