سیستم های معادلات دیفرانسیل جزئی (Partial Differential Equation Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های معادلات دیفرانسیل جزئی (Partial Differential Equation Systems) :
وقتی متغیرهای حالت به بیش از یک متغیر مستقل (معمولا مکان و زمان) وابسته باشند، سیستم توسط معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) توصیف می شود. این سیستم ها بعد نامتناهی دارند، زیرا وضعیت در هر نقطه از فضا یک متغیر است. شکل کلی:
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = F(u, \nabla u, \nabla^2 u, \dots) \]سه نوع کلاسیک PDEها: بیضوی (Elliptic) مانند معادله لاپلاس
\[ \nabla^2 u = 0 \](مرتبط با حالت پایا)، سهموی (Parabolic) مانند معادله گرما
\[ u_t = \alpha \nabla^2 u \](نشرو پخش)، و هذلولوی (Hyperbolic) مانند معادله موج
\[ u_{tt} = c^2 \nabla^2 u \](انتشار امواج).
در چارچوب سیستم های دینامیکی، معمولا یک متغیر زمانی وجود دارد و معادله را به صورت یک دستگاه تکاملی می نویسیم. برای مثال، معادله غیرخطی شرودینگر (NLS) در اپتیک غیرخطی و امواج آب:
\[ i \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + |u|^2 u = 0 \]مطالعه این سیستم ها شامل مباحثی مانند وجود و یکتایی جواب، پایداری، موج های تنها (سولیتون)، آشوب در فضا-زمان (آشوب گسترده)، و جاذب های با بعد متناهی برای معادلات پخشی (dissipative) است.
ابزارهای تحلیل شامل آنالیز فوریه، روش های تغییراتی (variational)، نظریه نیم گروه ها، و شبیه سازی عددی با روش هایی مانند تفاضلات محدود (finite difference) و اجزاء محدود (finite element) هستند. سیستم های آشوبناک با PDE می توانند رفتارهایی مانند تلاطم (turbulence) را مدل کنند.
کاربردهای PDE در همه جای فیزیک (الکترومغناطیس، مکانیک کوانتومی، سیالات)، مهندسی (انتقال حرارت، دینامیک سازه ها)، زیست شناسی (انتشار مواد، مورفوژنز)، و مالی (معادله بلک-شولز) گسترده است.
بنابراین، سیستم های PDE یکی از غنی ترین و چالش برانگیزترین حوزه های ریاضیات کاربردی و محض هستند و مرزهای دانش در این زمینه همچنان در حال گسترش است.
