سیستم های دینامیکی گروهی (Group Dynamical Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های دینامیکی گروهی (Group Dynamical Systems) :
در مقابل نیم گروهی، سیستم های گروهی برای زمان های منفی نیز تعریف می شوند و عملگر زمانی یک گروه (Group) را تشکیل می دهد. یعنی
\[ \phi_{-t} \]وارون
\[ \phi_t \]است و
\[ \phi_{t+s} = \phi_t \circ \phi_s \]برای تمام اعداد حقیقی
\[ t,s \]برقرار است. این خاصیت معادل برگشت پذیری کامل دینامیک است: از وضعیت فعلی می توان هم به آینده و هم به گذشته رفت.
اغلب سیستم های فیزیکی پایستار (بدون اصطکاک) مانند سیستم های همیلتونی، این ویژگی را دارند. معادلات حرکت نیوتنی برای یک ذره بدون اصطکاک (مثل حرکت سیاره ها) تحت معکوس زمان تغییرناپذیر هستند و بنابراین یک گروه دینامیکی تشکیل می دهند. در این سیستم ها، قضیه لیوویل (Liouville) بیان می کند که حجم فضای فاز در طول زمان پایسته می ماند.
\[ \phi_t \circ \phi_s = \phi_{t+s}, \quad \phi_{-t} = (\phi_t)^{-1} \]از نظر ریاضی، یک گروه دینامیکی یک عمل گروه اعداد حقیقی
\[ \mathbb{R} \](یا اعداد صحیح
\[ \mathbb{Z} \]) روی فضای حالت است. این عمل معمولا پیوسته یا هموار (smooth) فرض می شود. سیستم های همیلتونی مثال بارز گروه های سمپلکتیک هستند که ساختار هندسی خاصی را حفظ می کنند.
بررسی سیستم های گروهی به دلیل برگشت پذیری، ابزارهای قدرتمندی مانند قضایای بازگشت پوانکاره (Poincaré recurrence) را فراهم می کند: در یک سیستم با حجم فاز متناهی که پایستار است، تقریبا همه مسیرها بی نهایت بار به هر همسایگی از نقطه شروع خود بازمی گردند.
این سیستم ها در نظریه ارگودیک و مکانیک آماری بنیادی هستند. اگرچه در عمل بسیاری از سیستم ها به دلیل اتلاف انرژی (مثل اصطکاک) برگشت ناپذیرند، مطالعه سیستم های گروهی به درک عمیق تری از ساختار ریاضی دینامیک می انجامد.
