سیستم های دینامیکی نیم گروهی (Semi-group Dynamical Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های دینامیکی نیم گروهی (Semi-group Dynamical Systems) :
در این سیستم ها، عملگر زمانی تنها برای زمان های مثبت تعریف می شود و خاصیت برگشت پذیری (قابلیت رفتن به گذشته) وجود ندارد. یعنی تنها می توان آینده را از روی حال پیش بینی کرد، اما نمی توان به طور یکتا گذشته را بازیابی کرد. این ویژگی با خاصیت نیم گروهی (semigroup property) مشخص می شود:
\[ \phi_{t+s} = \phi_t \circ \phi_s \]برای
\[ t,s \ge 0 \].
این سیستم ها اغلب در پدیده هایی ظاهر می شوند که با گذشت زمان، اطلاعاتی از دست می رود یا فرآیند غیرقابل بازگشت است؛ مانند انتشار گرما (معادله گرما) یا فرآیندهای وابسته به نرخ (مثل واپاشی هسته ای). در اینجا، جریان دینامیک تنها به جلو حرکت می کند و معادله دیفرانسیل مربوطه از نوع سهموی (parabolic) است.
از نظر ریاضی، یک نیم گروه
\[ \{T(t)\}_{t \ge 0} \]از عملگرهای خطی یا غیرخطی روی یک فضای باناخ تعریف می شود. شرط نیم گروهی به صورت
\[ T(0)=I \]و
\[ T(t+s)=T(t)T(s) \]است. اگر این عملگرها پیوسته باشند، نیم گروه پیوسته قوی (strongly continuous semigroup) نامیده می شود که در نظریه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی نقش اساسی دارد.
\[ u(t) = T(t)u_0 \]یک مثال کلاسیک، جواب معادله حرارت یک بعدی روی یک میله است. اگر توزیع دما در لحظه صفر داده شود، توزیع در زمان های بعدی به طور یکتا تعیین می شود، اما با رفتن به عقب در زمان، جواب یکتا نیست و ممکن است ناپایدار شود. اینجاست که نیم گروهی بودن معنا می یابد.
در سیستم های غیرخطی، نیم گروه ها ممکن است برای همه زمان ها تعریف نشوند و در زمان محدود منفجر شوند (blow up). مطالعه این پدیده ها بخش مهمی از آنالیز غیرخطی است. همچنین مفهوم جاذب ها (attractors) برای نیم گروه های غیرخطی تعریف می شود که نشان دهنده رفتار بلندمدت سیستم است.
کاربردهای دیگر در نظریه کنترل و سیستم های تأخیری (delay systems) دیده می شود. در سیستم های تأخیری، فضای حالت به توابع روی یک بازه تأخیر گسترش می یابد و تکامل توسط یک نیم گروه توصیف می شود.
