سیستم های دینامیکی با زمان گسسته (Discrete-Time Dynamical Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیستم های دینامیکی (Dynamical Systems را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیستم های دینامیکی با زمان گسسته (Discrete-Time Dynamical Systems) :
در این سیستم ها، زمان تنها در لحظه های معین و شمارش پذیری (مثل اعداد صحیح) تعریف می شود. وضعیت سامانه در گام های
\[ n = 0,1,2,\dots \]توصیف می گردد و تکامل آن توسط یک نگاشت (تابع) تکرارشونده مشخص می شود. به عبارت دیگر، وضعیت بعدی صرفا تابعی از وضعیت کنونی است:
\[ x_{n+1} = f(x_n) \].
این سیستم ها از نظر ریاضی ساده تر از نمونه های پیوسته هستند، زیرا به جای معادله دیفرانسیل، با یک معادله تفاضلی سر و کار داریم. با این حال، همین سادگی ظاهری می تواند به رفتارهای بسیار پیچیده منجر شود، همان طور که در نگاشت لجستیک (Logistic map) مشاهده می کنیم:
\[ x_{n+1} = r x_n (1 - x_n) \]با تغییر پارامتر
\[ r \]، این نگاشت از نقاط ثابت تا دوره های تناوبی و نهایتا آشوب (Chaos) را نشان می دهد. این نوع سیستم ها برای مدل سازی پدیده هایی به کار می روند که در آن ها داده ها در بازه های زمانی منظم جمع آوری می شوند، مانند نوسانات جمعیت در فصل های متوالی، قیمت سهام در پایان روز معاملاتی، یا خروجی یک الگوریتم عددی.
بررسی پایداری در این سیستم ها از طریق نقاط ثابت
\[ x^* = f(x^*) \]و مشتق نگاشت در آن نقاط انجام می شود. اگر
\[ |f'(x^*)| < 1 \]باشد، نقطه ثابت پایدار (جاذب) است. اگر
\[ |f'(x^*)| > 1 \]باشد، ناپایدار (دافع) است. اگر
\[ |f'(x^*)| = 1 \]باشد، وضعیت بحرانی است و نیاز به تحلیل دقیق تری دارد.
سیستم های گسسته همچنین می توانند چندبعدی باشند، مانند نگاشت هنون (Hénon map) دو بعدی:
\[ \begin{cases} x_{n+1} = 1 - a x_n^2 + y_n \\ y_{n+1} = b x_n \end{cases} \]این نگاشت نیز یک جاذب عجیب (strange attractor) آشوبناک ایجاد می کند. نظریه ارگودیک برای سیستم های گسسته به خوبی توسعه یافته است و مفاهیمی مانند آنتروپی، اختلاط (mixing) و خواص آماری مسیرها را مطالعه می کند.
یکی از مهم ترین ابزارها برای مطالعه سیستم های گسسته، نمودار تارعنکبوتی (cobweb plot) است که به صورت ترسیمی، تکرار نگاشت را نشان می دهد. همچنین تحلیل پایداری مدارهای تناوبی (چرخه های حدی) با بررسی مشتق نگاشت در طول چرخه (با استفاده از قاعده زنجیری) صورت می گیرد.
از کاربردهای این سیستم ها می توان به رمزنگاری (تولید اعداد شبه تصادفی)، دینامیک جمعیت، اقتصادسنجی و پردازش سیگنال دیجیتال اشاره کرد. بسیاری از الگوریتم های بهینه سازی تکراری (مانند روش نیوتن) نیز در قالب سیستم های دینامیکی گسسته تحلیل می شوند.
