حد دنباله ای از عملگرها (Limit of a Sequence of Operators)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد دنباله ای از عملگرها (Limit of a Sequence of Operators) :

حد دنباله ای از عملگرها (Limit of a Sequence of Operators) در آنالیز تابعی و نظریه ی عملگرها بررسی می شود. فرض کنید

\[ T_n \]

دنباله ای از عملگرهای خطی کراندار از فضای باناخ

\[ X \]

به فضای باناخ

\[ Y \]

باشد. دو نوع همگرایی مهم عبارتند از: همگرایی قوی (نقطه ای) و همگرایی یکنواخت (در نرم عملگری).

همگرایی قوی:

\[ T_n \to T \]

به طور قوی اگر برای هر

\[ x \in X \]

،

\[ \|T_n x - T x\|_Y \to 0 \]

.

همگرایی یکنواخت:

\[ T_n \to T \]

به طور یکنواخت اگر

\[ \|T_n - T\|_{\mathcal{L}(X,Y)} \to 0 \]

.

\[ \lim_{n \to \infty} T_n = T \quad \text{(یکنواخت)} \iff \lim_{n \to \infty} \sup_{\|x\| \le 1} \|T_n x - T x\| = 0 \]

مثال: در فضای

\[ \ell^2 \]

، عملگرهای تصویری

\[ P_n(x_1, x_2, \dots) = (x_1, \dots, x_n, 0, 0, \dots) \]

به طور قوی به عملگر همانی همگرایند، اما به طور یکنواخت همگرا نیستند.

حد عملگرها در معادلات انتگرالی، مکانیک کوانتومی و نظریه ی تقریب کاربرد دارد.