حد توابع پیوسته (Limit of Continuous Functions)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد توابع پیوسته (Limit of Continuous Functions) :

حد توابع پیوسته (Limit of Continuous Functions) ساده ترین حالت حد است. یک تابع

\[ f \]

در نقطه

\[ a \]

پیوسته است اگر

\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]

. بنابراین برای توابع پیوسته، حد با جایگذاری مستقیم محاسبه می شود.

اگر دنباله ای از توابع پیوسته

\[ f_n \]

به طور یکنواخت به

\[ f \]

همگرا شود، آن گاه

\[ f \]

نیز پیوسته است. اما همگرایی نقطه ای این خاصیت را ندارد (مثال:

\[ f_n(x) = x^n \]

روی

\[ [0,1] \]

).

توابع پیوسته روی بازه های بسته دارای خواص مهمی مانند قضیه ی مقدار میانی و قضیه ی کران داری هستند. حد این توابع در نقاط داخلی بازه با مقدار تابع برابر است.

\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]

مثال:

\[ f(x) = \sin x \]

در همه جا پیوسته است.

\[ \lim_{x \to \pi/2} \sin x = 1 \]

.

در آنالیز حقیقی، توابع پیوسته رده ی مهمی از توابع هستند و حد آن ها اساس بسیاری از قضایا را تشکیل می دهد.