حد توابع مشتق پذیر (Limit of Differentiable Functions)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد توابع مشتق پذیر (Limit of Differentiable Functions) :

توابع مشتق پذیر (Differentiable Functions) در یک نقطه الزاما در آن نقطه پیوسته هستند و بنابراین حد آن ها در آن نقطه برابر مقدار تابع است. اما حد توابع مشتق پذیر در نقاط دیگر یا در بی نهایت، خواص جالبی دارد.

اگر دنباله ای از توابع مشتق پذیر

\[ f_n \]

به تابع

\[ f \]

همگرای نقطه ای باشد و مشتقات

\[ f_n' \]

به طور یکنواخت به

\[ g \]

همگرا شوند، آن گاه

\[ f \]

مشتق پذیر است و

\[ f' = g \]

. این قضیه در آنالیز تابعی کاربرد دارد.

حد توابع مشتق پذیر در مسائل بهینه سازی و معادلات دیفرانسیل ظاهر می شود. برای مثال، در روش نیوتن، دنباله ای از تقریب ها به ریشه ی معادله همگراست.

\[ \lim_{n \to \infty} x_n = r \quad \text{که } f(r)=0 \]

مثال:

\[ f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n} \]

روی

\[ \mathbb{R} \]

مشتق پذیرند و به

\[ f(x)=0 \]

همگرای یکنواخت هستند. مشتقات

\[ f_n'(x) = \cos(nx) \]

همگرای یکنواخت نیستند، اما مشتق تابع حد (صفر) برابر حد مشتقات نیست.