حد توابع لیپ شیتز (Limit of Lipschitz Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد توابع لیپ شیتز (Limit of Lipschitz Functions) :
حد توابع لیپ شیتز (Limit of Lipschitz Functions) به رفتار توابعی می پردازد که شرط لیپ شیتز را ارضا می کنند: تابع
\[ f \]روی مجموعه
\[ D \]لیپ شیتز است اگر ثابت
\[ K \](ثابت لیپ شیتز) وجود داشته باشد به طوریکه برای همه ی
\[ x, y \in D \]:
\[ |f(x) - f(y)| \le K |x - y| \]توابع لیپ شیتز به طور یکنواخت پیوسته هستند و بنابراین حد در هر نقطه (درون دامنه) با مقدار تابع برابر است. یعنی اگر
\[ a \]درون دامنه باشد،
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \].
اگر دنباله ای از توابع لیپ شیتز با ثابت یکسان
\[ K \]به طور نقطه ای به تابع
\[ f \]همگرا شوند، آن گاه
\[ f \]نیز لیپ شیتز با همان ثابت است و همگرایی یکنواخت روی مجموعه های فشرده برقرار است.
مثال:
\[ f_n(x) = \sqrt{x^2 + 1/n} \]روی
\[ \mathbb{R} \]لیپ شیتز با ثابت ۱ هستند و به
\[ |x| \]همگرا می شوند که آن هم لیپ شیتز است.
توابع لیپ شیتز در معادلات دیفرانسیل (شرط پایداری)، بهینه سازی و یادگیری ماشین (توابع با نرم گرادیان کراندار) کاربرد دارند.
