حد توابع کراندار (Limit of Bounded Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد توابع کراندار (Limit of Bounded Functions) :
حد توابع کراندار (Limit of Bounded Functions) به بررسی رفتار توابعی می پردازد که در همسایگی یک نقطه کراندار هستند. یک تابع
\[ f \]در همسایگی نقطه
\[ a \]کراندار است اگر عدد
\[ M \]وجود داشته باشد به طوریکه
\[ |f(x)| \le M \]برای همه ی
\[ x \]در آن همسایگی (به جز احتمالا خود
\[ a \]).
توابع کراندار الزاما حد ندارند (مثل
\[ \sin(1/x) \]در نزدیکی صفر)، اما اگر حدی وجود داشته باشد، آن حد کراندار است. همچنین اگر تابعی حد داشته باشد، در یک همسایگی از نقطه ی حد (به جز خود نقطه) کراندار است.
قضیه: اگر
\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]، آن گاه
\[ f \]در یک همسایگی محذوف از
\[ a \]کراندار است. عکس این قضیه برقرار نیست.
برای توابع کراندار و نوسانی، گاهی limsup و liminf وجود دارند (هرچند خود حد ممکن است وجود نداشته باشد). مثال:
\[ f(x) = \sin(1/x) \]در
\[ x \to 0 \]، limsup = 1 و liminf = -1.
\[ \limsup_{x \to 0} \sin(1/x) = 1, \quad \liminf_{x \to 0} \sin(1/x) = -1 \]در آنالیز تابعی، توابع کراندار روی فضاهای باناخ و دوگان آن ها اهمیت دارند.
