حد اپسیلون-دلتا (Epsilon-Delta Limit)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد اپسیلون-دلتا (Epsilon-Delta Limit) :
حد اپسیلون-دلتا (Epsilon-Delta Limit) همان تعریف دقیق حد است که در ریاضیات برای تعریف حد توابع حقیقی به کار می رود. این تعریف توسط ریاضیدانان قرن نوزدهم (به ویژه وایرشتراس) صوری سازی شد تا مفهوم شهودی حد را دقیق کند.
تعریف:
\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]اگر برای هر عدد مثبت
\[ \epsilon \](اپسیلون)، یک عدد مثبت
\[ \delta \](دلتا) وجود داشته باشد به طوریکه هرگاه
\[ x \]در دامنه ی
\[ f \]باشد و
\[ 0 < |x - a| < \delta \]، آن گاه
\[ |f(x) - L| < \epsilon \].
این تعریف بیان می کند که می توانیم
\[ f(x) \]را به اندازه ی دلخواه به
\[ L \]نزدیک کنیم، به شرطی که
\[ x \]به اندازه ی کافی به
\[ a \]نزدیک باشد (اما نابرابر با
\[ a \]).
\[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0: 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon \]برای توابع چندمتغیره، تعریف مشابه با استفاده از فاصله ی اقلیدسی است. این تعریف همچنین برای توابع روی فضاهای متریک تعمیم می یابد.
درک این تعریف برای اثبات قضایای اساسی آنالیز مانند قضیه ی مقدار میانی، قضیه ی فشردگی و پیوستگی یکنواخت ضروری است.
