حد با استفاده از تعریف (Limit by Definition)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد با استفاده از تعریف (Limit by Definition) :

حد با استفاده از تعریف (Limit by Definition) به معنای استفاده از تعریف دقیق حد (تعریف

\[ \epsilon-\delta \]

) برای اثبات مقدار یک حد است. این روش بیشتر برای اثبات های نظری به کار می رود تا محاسبات عملی، اما درک آن برای فهم عمیق مفهوم حد ضروری است.

برای اثبات

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

باید نشان دهیم که برای هر

\[ \epsilon > 0 \]

، یک

\[ \delta > 0 \]

وجود دارد به طوریکه اگر

\[ 0 < |x - a| < \delta \]

، آن گاه

\[ |f(x) - L| < \epsilon \]

.

مثال: اثبات

\[ \lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5 \]

. می خواهیم برای هر

\[ \epsilon \]

،

\[ \delta = \epsilon/3 \]

انتخاب کنیم. اگر

\[ |x-2| < \epsilon/3 \]

، آن گاه

\[ |(3x-1) - 5| = |3x-6| = 3|x-2| < 3(\epsilon/3) = \epsilon \]

.

\[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta = \frac{\epsilon}{3} > 0: 0<|x-2|<\delta \implies |(3x-1)-5|<\epsilon \]

این تعریف دقیق، پایه ی تمام مفاهیم حدی است و در آنالیز ریاضی برای اثبات قضایا استفاده می شود.