حد با استفاده از هم ارزی (Limit by Equivalency)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد با استفاده از هم ارزی (Limit by Equivalency) :

حد با استفاده از هم ارزی (Limit by Equivalency) روشی است که در آن توابع را با توابع ساده تری که در نقطه ی مورد نظر رفتار مشابهی دارند (هم ارز هستند) جایگزین می کنیم. دو تابع

\[ f \]

و

\[ g \]

در همسایگی

\[ a \]

هم ارز هستند اگر

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \]

.

هم ارزی های معروف در

\[ x \to 0 \]

:

\[ \sin x \sim x \]

\[ \tan x \sim x \]

\[ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} \]

\[ \ln(1+x) \sim x \]

\[ e^x - 1 \sim x \]

\[ \arcsin x \sim x \]

مثال:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\tan 2x} \sim \lim_{x \to 0} \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2} \]

.

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\tan 2x} = \frac{5}{2} \]

در

\[ x \to \infty \]

، چندجمله ای ها با جمله ی غالب خود هم ارز هستند:

\[ a_n x^n + \dots + a_0 \sim a_n x^n \]

.

هم ارزی را فقط می توان در حاصل ضرب و تقسیم به کار برد، نه در جمع و تفریق (مگر در موارد خاص با احتیاط). این روش محاسبات را بسیار سریع می کند.