حد با استفاده از تغییر متغیر (Limit by Substitution)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد با استفاده از تغییر متغیر (Limit by Substitution) :

حد با استفاده از تغییر متغیر (Limit by Substitution) روشی است که در آن با معرفی یک متغیر جدید، حد را به حالتی ساده تر تبدیل می کنیم. این روش به ویژه برای حدود شامل رادیکال، توابع مثلثاتی، و حدود در بی نهایت مفید است.

مثال: حد

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \]

. با تغییر متغیر

\[ t = 1/x \]

، وقتی

\[ x \to \infty \]

،

\[ t \to 0^+ \]

و حد به

\[ \lim_{t \to 0^+} (1+t)^{1/t} \]

تبدیل می شود که برابر

\[ e \]

است.

مثال دیگر: حد

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} \]

. با تغییر متغیر

\[ t = \sqrt{1+x} \]

، داریم

\[ x = t^2 - 1 \]

و وقتی

\[ x \to 0 \]

،

\[ t \to 1 \]

. حد تبدیل می شود به

\[ \lim_{t \to 1} \frac{t-1}{t^2-1} = \lim_{t \to 1} \frac{1}{t+1} = \frac{1}{2} \]

.

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{1}{2} \]

تغییر متغیر در حدود چندمتغیره نیز کاربرد دارد، مثلا با مختصات قطبی برای حدود در مبدأ.

نکته: پس از تغییر متغیر، باید دامنه ی جدید متغیر و پیوستگی تابع جدید را در نظر گرفت.