حد با استفاده از بسط سری (Limit Using Series Expansion)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد با استفاده از بسط سری (Limit Using Series Expansion) :
حد با استفاده از بسط سری (Limit Using Series Expansion) روشی قدرتمند برای محاسبه ی حدود پیچیده، به ویژه در مواردی که به اشکال مبهم می خوریم، است. در این روش، توابع را به صورت سری های توانی (مثلا سری تیلور یا مکلورن) بسط می دهیم و با نگه داشتن چند جمله ی اول، حد را محاسبه می کنیم.
برای مثال، حد
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \]را در نظر بگیرید. با بسط سری
\[ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \]داریم:
\[ \frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^3} = -\frac{1}{6} + O(x^2) \to -\frac{1}{6} \]بسط سری برای توابعی مانند
\[ e^x \],
\[ \ln(1+x) \],
\[ \cos x \]و ... بسیار مفید است. این روش اغلب از قاعده ی هوپیتال سریع تر و روشن تر است، به ویژه هنگامی که مشتق گیری مکرر دشوار باشد.
بسط سری همچنین می تواند برای حدود در بی نهایت با تغییر متغیر
\[ t = 1/x \]و بستن حول صفر استفاده شود.
دقت این روش به تعداد جملات بستگی دارد. برای حدودی که با حذف جملات مرتبه بالاتر به نتیجه می رسیم، باید مطمئن شویم که جملات باقی مانده ناپدید می شوند.
