حد با استفاده از فشردگی (Limit Using Squeeze Theorem)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد با استفاده از فشردگی (Limit Using Squeeze Theorem) :

قضیه ی فشردگی (Squeeze Theorem) یا قضیه ی ساندویچ (Sandwich Theorem) روشی برای محاسبه ی حد توابعی است که بین دو تابع دیگر محصور شده اند. اگر

\[ g(x) \le f(x) \le h(x) \]

در همسایگی نقطه

\[ a \]

(به جز احتمالا خود

\[ a \]

) و

\[ \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \]

، آن گاه

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

.

این قضیه برای توابعی که رفتار نوسانی دارند، بسیار مفید است. مثال کلاسیک:

\[ \lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x) \]

. می دانیم

\[ -1 \le \sin(1/x) \le 1 \]

، بنابراین

\[ -x^2 \le x^2 \sin(1/x) \le x^2 \]

. با توجه به

\[ \lim_{x \to 0} \pm x^2 = 0 \]

، نتیجه می گیریم حد برابر صفر است.

\[ \lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x) = 0 \]

مثال دیگر: اثبات حد

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

نیز می تواند با قضیه ی فشردگی (با استفاده از نامساوی های هندسی) انجام شود.

قضیه ی فشردگی همچنین برای دنباله ها نیز برقرار است: اگر

\[ a_n \le b_n \le c_n \]

و

\[ \lim a_n = \lim c_n = L \]

، آن گاه

\[ \lim b_n = L \]

.