حد با استفاده از قاعده هوپیتال (Limit Using L'Hôpital's Rule)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد با استفاده از قاعده هوپیتال (Limit Using L'Hôpital's Rule) :

قاعده هوپیتال (L'Hôpital's Rule) روشی قدرتمند برای محاسبه ی حدود مبهم از نوع

\[ \frac{0}{0} \]

و

\[ \frac{\infty}{\infty} \]

است. این قاعده می گوید اگر

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \]

از نوع مبهم باشد و مشتقات

\[ f' \]

و

\[ g' \]

در همسایگی

\[ a \]

(به جز احتمالا خود

\[ a \]

) وجود داشته باشند و

\[ \lim \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

وجود داشته باشد (یا بینهایت باشد)، آن گاه:

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

مثال:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]

از نوع

\[ \frac{0}{0} \]

. مشتق گیری:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \]

.

قاعده هوپیتال را می توان چندین بار تکرار کرد. همچنین برای حدود یک طرفه و حدود در بی نهایت نیز معتبر است (با تعویض متغیر مناسب).

برای اشکال دیگر مبهم مانند

\[ 0 \cdot \infty \]

،

\[ \infty - \infty \]

،

\[ 0^0 \]

،

\[ 1^\infty \]

و

\[ \infty^0 \]

، ابتدا باید آن ها را به فرم

\[ \frac{0}{0} \]

یا

\[ \frac{\infty}{\infty} \]

تبدیل کرد و سپس از قاعده استفاده نمود.

این قاعده در حسابان پایه و پیشرفته بسیار پرکاربرد است.