حد استاندارد (Standard Part Limit)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد استاندارد (Standard Part Limit) :
حد استاندارد (Standard Part Limit) مفهومی در آنالیز غیراستاندارد است که به عمل "بخش استاندارد" (standard part) اشاره دارد. برای هر عدد متناهی (finite) در ابراعداد حقیقی
\[ \mathbb{R}^* \]، یک عدد حقیقی استاندارد وجود دارد که به آن بینهایت نزدیک است. این عدد را با st(x) نشان می دهیم.
اگر
\[ x \]یک ابرعدد حقیقی متناهی باشد، آن گاه st(x) تنها عدد حقیقی است به طوریکه
\[ x - \text{st}(x) \]متناهی الخطر است. بخش استاندارد یک همریختی از حلقه ی اعداد متناهی به اعداد حقیقی است.
حد یک تابع در یک نقطه با استفاده از بخش استاندارد تعریف می شود:
\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall x \approx a, x \neq a, \text{st}(f(x)) = L \]مشتق نیز به صورت
\[ f'(a) = \text{st}\left( \frac{f(a+\epsilon) - f(a)}{\epsilon} \right) \]برای یک متناهی الخطر
\[ \epsilon \neq 0 \]تعریف می شود.
حد استاندارد ابزاری برای ارتباط بین آنالیز کلاسیک و غیراستاندارد است و بسیاری از قضایای آنالیز حقیقی را می توان با آن ساده تر اثبات کرد.
