حد در آنالیز غیراستاندارد (Limit in Nonstandard Analysis)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد در آنالیز غیراستاندارد (Limit in Nonstandard Analysis) :
آنالیز غیراستاندارد (Nonstandard Analysis) که توسط آبراهام رابینسون ابداع شد، با استفاده از اعداد متناهی الخطر (infinitesimals) و اعداد نامتناهی (infinite numbers) به بازتعریف مفاهیم آنالیز می پردازد. در این رویکرد، حد تابع به سادگی با استفاده از مقادیر استاندارد (standard part) تعریف می شود.
در آنالیز غیراستاندارد، عدد حقیقی
\[ L \]حد تابع
\[ f \]در نقطه
\[ a \]است اگر برای هر
\[ x \]بینهایت نزدیک به
\[ a \](یعنی
\[ x - a \]متناهی الخطر باشد)، مقدار
\[ f(x) \]بینهایت نزدیک به
\[ L \]باشد (یعنی
\[ f(x) - L \]متناهی الخطر باشد). سپس
\[ L = \text{st}(f(x)) \](بخش استاندارد).
\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall x \approx a, x \neq a, f(x) \approx L \]این تعریف معادل تعریف
\[ \epsilon-\delta \]است اما از نظر شهودی ساده تر به نظر می رسد. مشتق نیز به صورت
\[ f'(a) = \text{st}\left( \frac{f(a+\epsilon) - f(a)}{\epsilon} \right) \]برای یک متناهی الخطر
\[ \epsilon \]تعریف می شود.
آنالیز غیراستاندارد ابزار قدرتمندی برای اثبات قضایای آنالیز حقیقی و کاربرد در فیزیک نظری است.
