حد توزیع (Limit of a Distribution)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد توزیع (Limit of a Distribution) :

حد توزیع (Limit of a Distribution) به همگرایی دنباله ای از توزیع های احتمال به یک توزیع حدی اشاره دارد. این مفهوم در نظریه ی احتمال و آمار بسیار مهم است. همگرایی در توزیع (یا همگرایی ضعیف) معمولا با استفاده از توابع توزیع یا توابع مشخصه بررسی می شود.

اگر دنباله ای از متغیرهای تصادفی

\[ X_n \]

با توزیع

\[ F_n \]

به متغیر تصادفی

\[ X \]

با توزیع

\[ F \]

در توزیع همگرا باشد، آن گاه برای هر تابع پیوسته و کراندار

\[ g \]

،

\[ \mathbb{E}[g(X_n)] \to \mathbb{E}[g(X)] \]

.

\[ \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F(x) \quad \text{در همه ی نقاط پیوستگی } F \]

مثال: توزیع t-استیودنت با افزایش درجه آزادی به توزیع نرمال استاندارد همگراست.

همچنین توزیع دوجمله ای با پارامترهای

\[ n \]

و

\[ p \]

وقتی

\[ n \to \infty \]

و

\[ p \to 0 \]

به طوری که

\[ np \to \lambda \]

، به توزیع پواسون با پارامتر

\[ \lambda \]

همگراست.

حد توزیع در آمار بیزی، نظریه ی اطلاع و فرآیندهای تصادفی کاربرد دارد.