حد سری توانی (Limit of Power Series)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد سری توانی (Limit of Power Series) :

سری توانی (Power Series) به صورت

\[ \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n \]

تعریف می شود. حد این سری (مجموع آن) تابعی از

\[ x \]

است که در شعاع همگرایی

\[ R \]

تعریف می شود. شعاع همگرایی با فرمول

\[ R = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}} \]

به دست می آید.

در داخل بازه ی همگرایی

\[ |x-c| < R \]

، سری به یک تابع تحلیلی همگراست. در نقاط مرزی

\[ |x-c| = R \]

، رفتار سری می تواند همگرا یا واگرا باشد و باید جداگانه بررسی شود.

\[ \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N a_n (x-c)^n = f(x) \quad \text{برای } |x-c| < R \]

مثال: سری هندسی

\[ \sum x^n \]

برای

\[ |x| < 1 \]

به

\[ \frac{1}{1-x} \]

همگراست. در

\[ x=1 \]

واگرا و در

\[ x=-1 \]

همگرای شرطی است.

حد سری های توانی در بسط تیلور توابع، حل معادلات دیفرانسیل و فیزیک نظری کاربرد گسترده ای دارد.