حد دنباله های هندسی (Limit of Geometric Sequences)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد دنباله های هندسی (Limit of Geometric Sequences) :

دنباله های هندسی (Geometric Sequences) دنباله هایی هستند که نسبت دو جمله ی متوالی آن ها ثابت است:

\[ a_{n+1} = r a_n \]

. جمله ی عمومی

\[ a_n = a_1 r^{n-1} \]

.

حد این دنباله ها به قدر مطلق

\[ r \]

بستگی دارد:

اگر

\[ |r| < 1 \]

، آن گاه

\[ \lim a_n = 0 \]

اگر

\[ r = 1 \]

، آن گاه

\[ a_n = a_1 \]

ثابت و حد

\[ a_1 \]

است

اگر

\[ r = -1 \]

، دنباله نوسانی

\[ a_1, -a_1, a_1, -a_1, \dots \]

است و حد ندارد

اگر

\[ |r| > 1 \]

، آن گاه

\[ |a_n| \to \infty \]

(با علامت بسته به

\[ r \]

)

\[ \lim_{n \to \infty} a_1 r^{n-1} = \begin{cases} 0 & |r| < 1 \\ a_1 & r = 1 \\ \text{وجود ندارد} & r = -1 \\ \pm\infty & |r| > 1 \end{cases} \]

مثال:

\[ a_n = (\frac{1}{2})^{n} \]

به ۰ همگراست.

\[ a_n = 2^n \]

به ∞ واگراست.

حد دنباله های هندسی در محاسبه ی سری های هندسی، رشد جمعیت، وام ها و استهلاک کاربرد دارد.