حد توابع بسل (Limit of Bessel Functions)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد توابع بسل (Limit of Bessel Functions) :

توابع بسل (Bessel Functions) خانواده ای از توابع ویژه هستند که در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در مختصات استوانه ای و کروی ظاهر می شوند. این توابع با

\[ J_\nu(x) \]

برای نوع اول و

\[ Y_\nu(x) \]

برای نوع دوم نمایش داده می شوند.

حد توابع بسل در نقاط مختلف و در بی نهایت اهمیت دارد. برای مثال، وقتی

\[ x \to 0^+ \]

:

\[ J_\nu(x) \sim \frac{1}{\Gamma(\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^\nu, \quad \nu \neq -1, -2, \dots \]

بنابراین

\[ \lim_{x \to 0^+} J_0(x) = 1 \]

و

\[ \lim_{x \to 0^+} J_\nu(x) = 0 \]

برای

\[ \nu > 0 \]

.

برای تابع بسل نوع دوم

\[ Y_\nu(x) \]

در نزدیکی صفر:

\[ Y_0(x) \sim \frac{2}{\pi} \ln x, \quad Y_\nu(x) \sim -\frac{\Gamma(\nu)}{\pi} \left(\frac{2}{x}\right)^\nu \ (\nu>0) \]

بنابراین

\[ \lim_{x \to 0^+} Y_\nu(x) = -\infty \]

.

در بی نهایت، توابع بسل رفتار نوسانی میرایی دارند:

\[ J_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos\left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \]

بنابراین حد آن ها در بی نهایت صفر است (اما به طور نوسانی).

این حدها در مسائل فیزیکی مانند انتشار موج، ارتعاشات غشا و پتانسیل در الکترواستاتیک کاربرد دارند.