حد تابع بتا (Limit of Beta Function)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد تابع بتا (Limit of Beta Function) :

تابع بتا (Beta Function) به صورت

\[ B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \]

برای

\[ \Re(x), \Re(y) > 0 \]

تعریف می شود. حد این تابع در موارد مختلف جالب است.

حد وقتی یکی از متغیرها به صفر میل می کند: برای

\[ x \to 0^+ \]

با

\[ y \]

ثابت مثبت،

\[ B(x,y) \sim \frac{1}{x} \]

زیرا

\[ \Gamma(x) \sim 1/x \]

. بنابراین

\[ \lim_{x \to 0^+} x B(x,y) = 1 \]

.

\[ \lim_{x \to 0^+} x B(x,y) = 1 \]

حد وقتی هر دو متغیر به بی نهایت میل می کنند: با استفاده از تقریب استرلینگ،

\[ B(x,y) \]

رفتار مشخصی دارد. مثلا اگر

\[ x,y \to \infty \]

با نسبت ثابت، می توان از تقریب استفاده کرد.

مثال:

\[ \lim_{n \to \infty} n B(n, n) = \sqrt{\pi} \]

(با استفاده از تقریب استرلینگ).

تابع بتا در آمار (توزیع بتا)، فیزیک (محاسبه ی سطح مقطع پراکندگی) و نظریه ی اعداد کاربرد دارد. حدهای آن در تحلیل مجانبی انتگرال ها مهم هستند.