حد تابع گاما (Limit of Gamma Function)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد تابع گاما (Limit of Gamma Function) :

تابع گاما (Gamma Function) تعمیم فاکتوریل به اعداد حقیقی و مختلط است:

\[ \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt \]

برای

\[ \Re(z) > 0 \]

. حد این تابع در نقاط مختلف و در بی نهایت اهمیت دارد.

حد در بی نهایت: با استفاده از تقریب استرلینگ،

\[ \Gamma(z) \sim \sqrt{2\pi} z^{z-1/2} e^{-z} \]

وقتی

\[ |z| \to \infty \]

در ناحیه ای که از قطب ها دور باشیم. بنابراین

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\Gamma(x+a)}{x^a \Gamma(x)} = 1 \]

.

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\Gamma(x+a)}{x^a \Gamma(x)} = 1 \]

حد در نقاط قطب: تابع گاما در

\[ z = 0, -1, -2, \dots \]

قطب ساده دارد. نزدیک

\[ z = -n \]

،

\[ \Gamma(z) \sim \frac{(-1)^n}{n!} \frac{1}{z+n} \]

. بنابراین حد

\[ \Gamma(z) \]

وقتی

\[ z \to -n \]

بی نهایت است.

حدهای دیگری مانند

\[ \lim_{z \to 0} z \Gamma(z) = 1 \]

نیز وجود دارد.

این حدها در فیزیک نظری (نظریه ی ریسمان، مکانیک آماری) و آمار (توزیع گاما) کاربرد دارند.