حد از نوع بینهایت به توان بینهایت (∞^∞ Type Limit)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد از نوع بینهایت به توان بینهایت (∞^∞ Type Limit) :

حد از نوع بینهایت به توان بینهایت (∞^∞ Type Limit) حالتی است که هم پایه و هم توان به بی نهایت میل می کنند. این حالت مبهم نیست و نتیجه بی نهایت است، اما باید علامت را مشخص کرد.

اگر پایه به

\[ +\infty \]

و توان به

\[ +\infty \]

میل کند، نتیجه

\[ +\infty \]

است. اگر پایه به

\[ -\infty \]

و توان صحیح و زوج باشد، نتیجه

\[ +\infty \]

و اگر توان فرد باشد، نتیجه

\[ -\infty \]

است. برای توان های غیرصحیح، پایه منفی ممکن است تعریف نشده باشد.

مثال:

\[ \lim_{x \to \infty} x^x = \infty \]

. واضح است که این حد به بی نهایت میل می کند.

مثال دیگر:

\[ \lim_{x \to \infty} (e^x)^{x} = \lim e^{x^2} = \infty \]

.

برای توابعی مانند

\[ \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x^2} \]

، اگرچه پایه به ۱ میل می کند، توان

\[ x^2 \]

به بی نهایت می رود و نتیجه از نوع

\[ 1^{\infty} \]

است، نه ∞^∞. بنابراین تشخیص دقیق نوع حد مهم است.

حد ∞^∞ در بررسی رشد فوق العاده سریع توابع (مثل توابع نمایی دوگانه) ظاهر می شود.