حد از نوع صفر به توان بینهایت (0^∞ Type Limit)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد از نوع صفر به توان بینهایت (0^∞ Type Limit) :

حد از نوع صفر به توان بینهایت (0^∞ Type Limit) حالتی است که پایه به صفر و توان به بی نهایت میل می کند. این حالت معمولا مبهم نیست و نتیجه صفر است، زیرا عددی بین ۰ و ۱ به توان بی نهایت به صفر میل می کند. اما باید دقت کرد که پایه از کدام سمت به صفر میل می کند و آیا توان مثبت است یا خیر.

اگر

\[ f(x) \to 0^+ \]

و

\[ g(x) \to +\infty \]

، آن گاه

\[ f(x)^{g(x)} \to 0 \]

. اگر

\[ f(x) \to 0^- \]

و توان زوج باشد، نتیجه به

\[ +\infty \]

یا

\[ -\infty \]

بستگی دارد. اما در حالت کلی

\[ 0^{+\infty} = 0 \]

و

\[ 0^{-\infty} \]

تعریف نشده است.

مثال:

\[ \lim_{x \to 0^+} x^{1/x} \]

. این حد از نوع

\[ 0^{\infty} \]

است و به سرعت به صفر میل می کند. برای درک، لگاریتم می گیریم:

\[ \ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty \]

بنابراین

\[ L = e^{-\infty} = 0 \]

.

مثال دیگر:

\[ \lim_{x \to \infty} (1/x)^{x} \]

نیز از نوع

\[ 0^{\infty} \]

و برابر صفر است.

این نوع حد در تحلیل مجانبی توابع و بررسی نرخ همگرایی به صفر کاربرد دارد.